Diofant devia escriure la seua obra Aritmètica al sigle II D.C. obra que planteja molts problemes que han treballat molts matemàtics.
Aquí ja vam comentar la seua vida i alguns problemes (El iris 3997 de 5 de novembre de 2021) i també altres problemes dels seus sis primers llibres (El iris 4069 de 21 abril de 2023).
Avui tornam per aprofondir en el tema.
La imatge inicial mostra un detall de la pàgina 85 de Aritmètica (edició de Bachet en Llatí i grec de 1621) amb molts comentari als problemes.
És l’edició treballada per Fermat amb els famosos marges massa estrets per demostra la seua conjectura (Darrer teorema de Fermat).
El fill de Fermat (Pierre) va publica l’obra amb els comentaris del seu pare el 1670.
Diofant emprava una notació (en grec) molt diferent de l’actual.
Com es veu al detall a la part en llatí empra nombres fraccionaris amb la notació actual.
L’original grec es troba a la Biblioteca del Vaticà. No he trobat cap edició espanyola dels 6 llibres més coneguts. Els comentaris es fan a partir de l’edició en llatí-grec de Bachet (1610), de la francesa de Brassinne (1853) i de l’edició anglesa de Healt (1910). Les dues darreres contenen comentaris de Fermat i altres matemàtics.
Alguns dels matemàtics que han treballat l’obra de Diofant són: Vieta, Bachet, Fermat, Descartes, Euler, Jacobi, Lagrange, Legendre, Dirichlet, Kummer, Poincaré, Weil, Ramanujan, …
– El llibre I té problemes de primer grau i de segon grau.
– El llibre II té el problema nombre 8 que va generalitzar Fermat i que va resoldre Wiles el 1995.
– El llibre III té el problema 19
– El llibre IV té problemes de quadrats i cubs. El nombre 1 relacionat amb Ramanujam (1729 = suma de cubs).
– El llibre V té problemes de cubs amb equacions de segon i tercer grau.
– El llibre VI té problemes de resolució de triangles rectangles.
PROBLEMA 30 DEL LLIBRE 1.
Donada la suma i el producte de dos nombres, els pots trobar.
En notació actual: x + y = a , x·y = b.
El sistema es pot reduir a una equació de segon grau.
En opinió de Bachet, Diofant sabia resoldre les equacions de segon grau.
PROBLEMA 8 del LLIBRE 2 (És el problema mostrat a la imatge inicial)
Descomposar un nombre quadrat en suma de dos quadrats.
Relacionat amb el teorema de Pitàgores (569aC-475aC) i generalitzat a exponents majors que 2 per Fermat (1607-1665) en el seu darrer teorema.
En general es donava una solució concreta i només s’acceptaven solucions enteres o racionals (fraccions).
Donat un quadrat 16. Els quadrats que cercam són x2 i 16 – x2.
16 – x2 ha de ser quadrat de la forma (mx – 4)2
Igualam (2x – 4)2 = 16 – x2
4 x2 – 16x + 16 = 16 – x2
Per tant 5 x2 = 16 x
x = 16/5
Els quadrats cercats són 256/25, 144/25 que sumen 16.
PROBLEMA 17 DEL LLIBRE 3.
Trobar tres nombres de manera que el producte de dos qualsevol d’els 3 més la seua suma dona un quadrat.
Trobat x, y, z que formin quadrats: x·y + x + y , x·z + x + z , y·z + y + z.
Diofant dona una solució: 4, 9, 28.
Una observació de Fermat dona la solució:
3504384/203401, 201941/203401, 4.
i diu que es poden trobar infinites solucions.
Healt dona una solució fraccionària negativa:
– 4598185968447200 / 63162004828419699201
i, amb ordinador s’han trobat solucions positives amb nombres de 50 xifres.
A la mateixa observació de Fermat generalitza el problema:
Trobar quatre nombres de manera que el producte de dos qualsevol d’els 4 més la seua suma dona un quadrat.
Es pot ben dir que l’obra de Diofant del segle II ha estat de les que més més han influit el la història de les matemàtiques i que encara hi queden solucions i generalitzacions per trobar.
Molts matemàtics encara tenen feina per fer.
