El Papir Rhind (Egipte, 1650 aC) mostra cinc problemes de càlcul de volums i de superfícies on feien la quadratura del cercle i calculaven aproximacions del nombre pi.
El papir de Rhind presenta 87 problemes. Els problemes 41, 42, 43, 48 i 50 plantegen i donen solució aproximada al càlcul de volum de graners cilíndrics (41, 42 i 43) i a superfícies de terrenys circulars (48 i 50).
Als 5 problemes necessiten fer la quadratura del cercle per motius pràctics. Cap dels problemes de cercles cerca la longitud de la circumferència.
He cercat informacions a moltes fonts. Algunes de les receptes de càlcul donades són poc clares. Algunes interpretacions i les figures relacionades són meues. Les imatges del papir es poden consultar al web del British Museum.
Altres problemes tracten de triangles. Els egipcis coneixien i empraven el teorema de Pitàgores i també les ternes pitagòriques (3, 4, 5).
Les dues solucions donades per la quadratura del cercle de diàmetre 9 és igual a:
- L’àrea d’un quadrat de 8 × 8 (= 64)
- L’àrea d’un octògon dins un quadrat 9 × 9 (= 63).
El valor actual seria 63,617… entre els dos valors.
Altres aproximacions es feien amb el cercle a un terç, un quart o una cinquena part del vèrtex del quadrat.
La primera aproximació és senzilla i més emprada als problemes.
La forma general de càlcul és emprar el diàmetre del cercle, restar una novena part del diàmetre i elevar el resultat al quadrat.
Veim breument els cinc problemes:
VOLUM D’UN GRANER
Problema 41:
Calcula el volum d’un graner cilíndric de 9 colzes de diàmetre i 10 colzes d’altura.
Fa el càlcul amb el valor 9 colzes i àrea 64 amb colzes quadrats.
1 colze real = 0,524 m.
Àrea = 64 colze quadrats
Volum = 640 colzes cúbics = 960 khar = 48 hekat = 92,6 m3.
1 khar = 20 hekat = 2/3 colze cúbic.
Problema 42:
Calcula el volum d’un graner cilíndric de 10 colzes de diàmetre i altura 10 colzes.
Els segon problema és com el primer però de càlcul més difícil especialment emprant fraccions egípcies de numerador 1.
Recordem que 3 amb retxa dalt ( 3 ) significa 1/3.
S’ha d’elevar al quadrat: 8 + 3 + 6 + 18.
El resultat és: 79 + 108 + 324 o també 79 + 81.
Problema 43:
Càlcul del volum directament en khar.
AREA D’UN TERRENY CIRCULAR
Problema 48:
Compara l’àrea d’un quadrat de 9 khet de costat amb la d’un cercle de 9 khet de diàmetre.
1 khet = 100 colzes
Problema 50:
Calcula l’àrea d’un terreny circular de 9 hekat de diàmetre.
