Un dels nombres irracionals importants en matemàtiques i ciències és el nombre d’Euler ( e ) 2,718…
Hi ha tres nombres irracionals destacats que podem considerar joies matemàtiques per les seues propietats. Les darreres setmanes els hem mostrat a la secció «Per pensar-hi una estona». Allà procuram mostrar algunes curiositats de forma gràfica i amb poques paraules.
Avui, a més, li dedicam l’article al nombre e, menys conegut però que com els altres dos, p (pi) i j (fi), mereix més divulgació.
Els nombre irracionals tenen infinits decimals però no es poden expressar com a fracció de dos enters i no són periòdics.
Alguns irracionals com j són algebràics: són solució de equacions de coeficients enters. j és solució de x2 + x – 1 = 0. Arrel quadrada de 2 també ho és: és solució de x2 = 2. Altres irracionals no són algebràics (es diuen trascendents) com p i el nombre e (demostrat per Hermite el 1873) o com el nombre p (demostrat per Lindeman el 1882) no són solució de cap equació algebràica.
Cantor va demostrar que hi ha més trascendents que algebràics (Inclosos en enters i fraccionaris que també ho són) encara que s’en coneixen pocs.
També hi ha nombres que encara no sabem si són algebràics o trascendents, racionals o irracionals, … : e + p, e · p, etc.Sabem que els dos resultats ( e + p ), ( e · p ) no poden ser tots dos racionals, un dels dos o tots dos són irracionals.
Hi ha quantitats que creixen o minven de forma característica i que es relaciona amb el nombre e que tractam avui.
Una de les quantitats que pot crèixer és el capital posat a una banc amb interés. Per exemple posar 100€ a un compte bancari a un 5% d’interés anual. Per cada 100€ es posarà al compte al final d’un any 5€ i el capital dipositat serà 105€, que pot seguir produint interessos. Si l’interés es va acumulant cada instant (interés continu) obtenim el nombre e.
= 2,718…
Napier va introduir el concepte de logatime de base 10 cap a 1614.
Mercator va emprar e com a base dels logaritmes naturals a partir de 1668.
La funció exponencial (y = ex) té la propietat de que la seua derivada i la seua integral donen la mateixa funció.
La funció apareix a l’equació de la catenària que veiem fa unes quantes setmanes:
on hi ha l’exponencial positiva sumada a l’exponencial negativa.
També apareix el nombre e i l’exponencial y = ex a problemes matemàtics i a molts altres fenòmens físics, químics, i biològics.
Un exemple de problema matemàtic on surt el nombre e. Si enviam 10 cartes posades aleatòriament dins 10 sobres, la probabilitat de que ningú rebi la seua carta és prop de 1/e. La probabilitat de que al manco una persona rebi la seua carta és (1 – 1/e) que val aproximadament 1 – 0,367879 = 0,632. (Bastant probable).
Un exemple de física on apareix la funció exponencial negativa és en el fenòmen de l’absorció (aïllament de renou per exemple).
Es pot trobar per a cada material un cert valor del gruix de semiabsorció que redueix la intensitat de l’ona a la meitad.
Una funció molt semblant permet calcular la data de materials orgànics (fusta, teles, òssos, …) a partir de la radiactivitat de Carboni-14 que es redueix a la meitat cada 5730 anys. (Veure el gràfic de Joies Matemàtiques).
El nombre e com el nombre p i el nombre d’or el podem trobar als llocs més inesperats.
