Joan neix el 28 de març de 1928, a Ciutadella. És fill de Bartomeu Bagur Moll (Ciutadella, 1897) i Rita Coll Carretero (Ciutadella, 1901). La parella, casada el 1922, ha tingut quatre fills i dues filles: Gabriel (1927), Joan (1928), Esperança (1931), Gerardo (1934), Bartomeu (1938) i Maria (1943). Son pare és un comerciant de colonials a l’engròs, que abans de la guerra havia estat associat als Arguimbaus a la Naviera Ciudadelana i ha estat armador, entre altres del moto-veler Carmen Picó (1934). La casa familiar dels Bagur Coll era la 10 del carrer dels Gelosos. En la postguerra, son pare d’en Joan va posar un magatzem al carrer Muralla d’Artruix, que després traslladà al carrer General Mola, actual carrer Josep Salord i Farnés, en el qual el fill despatxava. Joan es va iniciar com a porter del CD Robur, un equip de futbol nascut a la casa salesiana. El 1945 passà a l’Atlètic de Ciutadella, on jugà dues temporades. El 1947 és provat pel CF Barcelona i la Real Societat de Sant Sebastià, club que finalment el contractà. Quan arriba a Donostia, Joan té vint anys. Aquella primera temporada passa cedit al Real Unión de Irún, de tercera divisió nacional. És una etapa de formació, ja que podem dir que Nito Bagur és un porter de la pedrera basca. El jove va jugar 12 temporades amb la Real, fins al 1959. Durant set anys va ser el seu porter titular i participà en 204 partits, 145 dels quals foren a la Primera Divisió, essent el seu debut el 13 de maig de 1948 davant el Sevilla en la copa del Generalísmo. Fins al 1959 va ser el jugador que més partits havia jugar amb la Real. De fet, avui, encara és el cinquè porter de la història que més partits ha jugat amb la Real Sociedad, llista que obre el gran Arconada. En cinc oportunitats va ser porter suplent de la selecció espanyola de futbol, encara que mai no va debutar com a internacional. Amb la Real Sociedad va compartir porteria amb Eizaguirre i Araquistain. L’any 1959, Joan Bagur fitxà pel Real Madrid, al qual pertany durant tres temporades, encara que sempre va ser porter suplent, com ho va ser en la final de la copa d’Europa que els blancs juguen a Glasgow el 1960, final que van guanyar per 7 a 3 a l’Eintracht de Frankfurt. El ciutadellenc va jugar quatre partits amb el Real Madrid, essent el jugador que havia debutat amb més edat amb els blancs, cosa que va fer a 31 anys. La temporada 1961-1962 passa cedit al Racing de Santander, amb el que va jugar 4 partits, els darrers a la Primera Divisió. Es retira a 34 anys. El 1962 torna a Ciutadella i treballa en l’empresa familiar de distribució d’alimentació. Mor el 13 de novembre de 2013, a vuitanta-cinc anys.
