En matemàtiques podem trobar coses rares, algunes verdaderes i altres falses. Algunes són precedents de la hipòtesi de Riemann que veiem fa unes setmanes.
Aquí en tenim una petita mostra.
- Es pot «demostrar» que 1 = 2, cosa que no pot ser certa.
Hi ha alguna errada. On? Hi ha amagada una operació que no és correcta. A la igualtat certa 1 · 0 = 5 · 0 no podem simplificar els zeros ja que resultaria que 1 = 5, o que 1 és igual a qualsevol nombre. Quin disbarat!
* També hem d’anar alerta amb les sumes d’infinits termes.
Si sumam la sèrie alterna +1, -1, +1, -1, +1, -1… podem «demostrar» que la suma dona ½.
Aquí resulta que la successió és divergent. Un terme suma 1; dos termes sumen, 0; tres termes sumen 1; el resultat alterna entre 1 i 0 i l’infinit no és parell ni senar (imparell).
Oscil·la entre 1 i 0. La mitjana dels dos valors és ½.
* També podem «demostrar» que la suma i resta alternada dels nombres naturals és igual a ¼.
* La suma dels infinits nombres naturals (enters positius) dona –1/12.
Aquest resultat també l’obteníem a l’extensió analítica de Riemann (1737) als nombres complexos de la funció zeta d’Euler.
* Pot parèixer un disbarat però amb els nombres complexos passen coses estranyes que es poden demostrar.
Algunes operacions amb nombres complexos poden donar resultats Reals (amb la part complexa = 0).
Els nombres complexos també s’han emprat per l’estudi del corrent altern, així que podem dir que els nombres complexos no són del tot imaginaris.
Donam alguns exemples sense demostrar:
* Un resultat sorprenent, però cert, que va obtenir Euler a partir del problema de Basilea (1735) és la relació de la funció zeta amb el producte dels nombres primers:
Aquesta relació entre la funció zeta per a nombres reals majors que 1 i el comptador de nombres primers va donar lloc a la hipòtesi de Riemann de 1859.
És la màgia de les matemàtiques.
