El problema de la suma d’un nombre infinit de valors menava cap a paradoxes com la de Zenon.
Suposeu-vos que Homer vol caminar fins al final d’un camí. Abans que hi pugui arribar, ha de recórrer la meitat del camí. I abans que pugueu arribar a la meitat del camí, heu de caminar una quarta part d’aquest. I abans de recórrer una quarta part, heu de completar una vuitena part; i abans de la vuitena part, una setzena; i així indefinidament. Pensaven que la suma d’infinites etapes donava infinit.
Hi ha sèries que són divergents i creixen sense límit.
La primera és la suma dels nombres naturals.
La segona és la sèrie harmònica (suma dels inversos dels nombre naturals) que creix indefinidament però el seu creixent és molt lent. Podríem pensar que en aquest cas el límit podria ser finit.
La tercera és la suma dels inversos dels nombres primers que Euler va demostrar que també és divergent.
Podem introduir la sèrie harmònica imaginant que volem fer una pila de blocs que vola fins al límit que pot ser estable.
El bloc superior de llargària 2 pot volar fins a la meitat, és a dir 1.
Dos blocs poden volar just fins que el centre de gravetat quedi a l’extrem de la taula (1 + 1/2).
Tres blocs fins a 1 + 1/2 + 1/3.
Amb 4 blocs el bloc superior ja queda fora de la taula.
Amb 100 bloc arriba a 2,5886…
Amb un bilió de blocs passaríem de 14.
Fins a quin límit podria volar? Quin és el límit de la sèrie?
Cap a 1350 Nicolàs de Oresme demostrava que la sèrie harmònica era divergent (pot créixer fins a l’infinit, pot superar qualsevol nombre imaginat).
Pietro Mengoli el 1647 ho va demostrar d’una forma diferent.
Els germans Johann i Jakob Bernoulli també van fer altres dues demostracions cap a 1690.
Ara podem veure exemples de sèries infinites que són convergents.
La primera és la suma de inversos de potències de 2. Aquesta sèrie tendeix a 2 quan es sumen infinits termes. Aquesta suma convergent resol la paradoxa de Zenon.
La segona és la sèrie que va proposar Pietro Mengoli el 1644 quan era professor de la Universitat de Bolonya. Després la va popularitzar Jakob Bernoulli com a problema de Basilea i finalment va ser resolt per Euler que va calcular el seu límit després de demostrar que la suma havia de ser menor que 2. El límit calculat va ser 1,644… Aquest valor era igual a π2 /6. Sorprèn trobar aquí el nombre π.
El mateix Euler va calcular la solució general per a valors naturals parells (2, 4, 6, 8, etc.) també relacionats amb exponents parells del nombre π.
La tercera sèrie mostra la solució per a la potència 3 que va resultar 1,202… Es coneix com a constant de Apery i no sembla tenir cap relació amb el nombre π.
Euler va generalitzar la funció zeta per a nombres reals majors que 1.
Riemann va generalitzar la mateixa funció per a tots els nombres imaginaris (o complexos) excepte el nombre s = 1 + 0 i. ( i és la unitat imaginària)
La funció zeta de Riemann és la sèrie que planteja el problema encara no resolt de la hipòtesis de Riemann que conjectura que la part real de totes les solucions no trivials té el valor 1/2.
El primer zero no trivial és troba a s = 0,5 + 14,1347 i (fora de la imatge).
